平凡[數學術語]

數學中,術語“平凡”(“平凡的”)經常用於結構非常簡單的對象(比如群或拓撲空間),有時亦會用明顯或乏趣這兩個詞代替,但對非數學工作者來說,它們有時可能比其他更複雜的對象更難想像或理解。 例如: 明顯因子:對於每個正整數 n 來說,1、-1、n 和 -n 都是它的明顯因子。空集:不包含任何元素的集合;平凡群:只含單位元的群;平凡環:定義於單元素集合的環。

平凡解

“平凡” 也用於一個方程具有非常簡單的結構的解,但是為了完整性不能省略。這種解稱為平凡解。例如,考慮微分方程:y'=y

這裡 y = f(x) 為函式,其導數為 y′。

y = 0,0 函式是平凡解;

y (x) = e,指數函式是一個非平凡解。

平凡[數學術語] 平凡[數學術語]

類似地,數學家經常將費馬大定理描述為方程對 n > 2 沒有非平凡解。 顯然,這個方程確實有解。比a=b=c=0對任何 n 都是解,a = 1,b = 0,,c = 1 也一樣。但是這種解是顯然的和無趣的,從而稱為“平凡”。

數學推理

平凡也經常指證明中容易的情形,為了完整性而不能省略。比如,數學歸納法證明分為兩部分:“奠基步驟”是對一個特殊起始值比如 n = 0 或 n = 1 證明定理;然後歸納步驟證明如果定理對特定值 n 成立,那么對 n+1 也成立。奠基情形經常是顯然的。(但是,也有歸納步驟是平凡的而奠基情形卻困難的例子。關於多項式的定理經常是這種類型,證明對變元的個數用歸納法。證明如果係數環 A 是唯一分解整環那么 A[X1,……,Xn] 是唯一分解整環,歸納步驟只要簡單的寫成 A[X1,……,Xn] = A[X1,……,Xn-1][Xn],而一個變元的奠基情形是困難的。)類似地,我們可能想證明某種性質對一個集合中所有元素都成立。證明的主要考慮非空集合,詳細檢驗其元素是否具有該性質;但如果集合是空集,則性質對其所有元素都成立,因為沒有元素需要檢驗。

數學界一個常見的笑話是說“平凡”和“被證明了的”是同義詞——這就是說,任何定理如果已知成立就可以認為是“平凡”的。另一個笑話是關於兩個數學家討論一個定理。第一個數學家說某個定理是“平凡的”。另一個要求一個解釋,然後他進行了 20 分鐘的解說。解說完了之後,第二個數學家同意這個定理是平凡的。這個笑話指出對平凡性判斷的主觀性。舉個例子,對微積分很熟練的人,會認為這個定理

平凡[數學術語] 平凡[數學術語]

是平凡的。但對一個初學者來說,可能一點也不顯然。

值得注意的是,平凡性也取決於語境。泛函分析中的證明可能會給出一個數,平凡地假設存在這樣的大數。在初等數論中證明自然數的基本結論時,證明也許會與“每個自然數都有一個後繼”息息相關,但此點需加以證明,或者將其作為一個公理。

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